[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Mi = X Å"mij , gdzie mij oznacza moment w przekroju i wywoÅ‚any przez dziaÅ‚anie siÅ‚y nadliczbowej
j
"
Xi = 1.
W podejściu kinematycznym obowiązuje twierdzenie Neala:
Konstrukcja przystosuje się do danego programu obciążenia, jeżeli istnieje taki mechanizm ruchu
plastycznego, że jest spełniona nierówność:
r r
ñømax MiE , gdy Õi > 0
&
ôø
*
&&
Mi Å"Õi d" M Å" Õi , gdzie Mi* =
òø
pi
""
&
ôømin MiE , gdy Õi
óø
i=1 i=1
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 4 PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZZCI 15
Twierdzenie to dotyczy tylko zniszczenia przyrostowego.
W nawiązaniu do terminologii teorii nośności granicznej należy zwrócić uwagę, że mnożnik najwięk-
szego obciążenia µS, dla którego konstrukcja przystosuje siÄ™, jest zawarty pomiÄ™dzy mnożnikiem obciÄ…-
żenia czysto sprężystego µE a mnożnikiem obciążenia granicznego µL , tzn.:
µE d" µS d" µL .
Problem przystosowania konstrukcji - podobnie jak problem nośności granicznej - można sformuło-
wać w kategoriach programowania liniowego, co pozwala wykorzystać gotowe procedury komputerowe.
" Materiały o własnościach reologicznych
Opisem materiałów wykazujących obok innych również cechy ciał lepkich zajmuje się reologia (reo
- z greckiego: płynąć). Zciślej biorąc, reologia jest syntezą teorii sprężystości, teorii plastyczności i hy-
dromechaniki. W prawach fizycznych opisujących ciała reologiczne ze względu na obecność efektów
lepkich czas występuje w postaci jawnej.
Elementarne modele reologiczne
Zasadnicze cechy fizyczne materiałów można opisać za pomocą modeli reologicznych, składających
siÄ™ z trzech modeli elementarnych:
- sprężyny opisującej własności sprężyste (model Hooke'a),
- suwaka opisującego własności plastyczne (model de Saint-Venanta),
- tłumika opisującego własności lepkie (model Newtona).
W modelu Hooke a opory sprężyny (naprężenia) są proporcjonalne do wydłużenia (odkształcenia)
à = Eµ . W modelu de Saint-Venanta opory suwaka obrazujÄ…cego tarcie suche sÄ… staÅ‚e
H H
& & &
(ÃV d" à ,Å" µV = 0, ÃV = à Å" sgnµV , µV `" 0 ). W modelu Newtona opory tÅ‚umika sÄ… proporcjonalne do
P P
2
&
prÄ™dkoÅ›ci wydÅ‚użenia: à = · Å"µN , gdzie symbol · [N Å" s/m ] nazywa siÄ™ współczynnikiem lepkoÅ›ci
N
dynamicznej.
Modele liniowych materiałów lepko-sprężystych
Modele materiałów lepko-sprężystych powstają przez łączenie modeli materiałów sprężystych (sprę-
żyn) i modeli materiałów lepkich (tłumików). Jeżeli naprężenia i odkształcenia oraz ich pochodne wzglę-
dem czasu występują tylko w pierwszej potędze, to materiał lepko-sprężysty nazywamy liniowym.
Szeregowe połączenie sprężyny i tłumika odpowiada modelowi Maxwella, opisanego następującym
równaniem fizycznym:
&&
tr Å"Ã + Ã = · Å"µ ,
gdzie tr =·/ E i nosi nazwÄ™ czasu relaksacji. Model Maxwella bardzo dobrze opisuje jakoÅ›ciowo zjawi-
sko relaksacji, czyli zmianÄ™ naprężeÅ„ w czasie przy staÅ‚ej wartoÅ›ci odksztaÅ‚cenia µ(t) = µ0 = const.
Równoległe połączenie sprężyny i tłumika tworzy model Kelvina. Model ten bardzo dobrze opisuje
zjawisko pełzania, tzn. zmianę odkształceń w czasie przy stałej wartości naprężenia. Równanie fizyczne
modelu Kelvina ma postać:
&
à = Eµ + ·µ.
Model standardowy wykazuje dorazne cechy sprężyste materiału. Model ten jest określony trzema
parametrami E0, E, ·; stanowi on z szeregowe poÅ‚Ä…czenie modelu Hooke'a i modelu Kelvina. Równanie
różniczkowe modelu standardowego zapisuje się w postaci:
*
&&
à + trà = E*µ + ·*µ,
gdzie
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 4 PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZZCI 16
· EE0 ·E0
*
tr = , E* =
E + E0 E + E0 E + E0
*
Model standardowy jest uogólnieniem modeli Maxwella i Kelvina. StaÅ‚e materiaÅ‚owe tr , E* i ·* można
oszacować na podstawie pomiaru długości osi sprzężonych elipsy przedstawiającej pętlę histerezy po
wielu cyklach sinusoidalnego wymuszenia odkształceń bądz naprężeń.
Należy dodać, że rozwiązanie zadań liniowej lepko-sprężystości składają się zawsze z iloczynu części
odpowiadającej rozwiązaniu sprężystemu i pewnej funkcji czasu (analogia Alfreya).
[ Pobierz całość w formacie PDF ]